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Mathematische Funktionen (7) ->

Berechnung und Konstruktion einer Ellipse (313)
 
 
Aufgabe
Eine elliptische Gleichung der Form
y=±b/a*Wurzel(a²-x²)
soll berechnet und in einem Diagramm dargestellt werden.




Lösung
In C2 steht a, der Radius auf der X-Achse
In D2 steht b, der Radius auf der Y-Achse
von A5:A41 steht die Gradzahl 0-360 in Zehnerschritten

in B5:B41 wird die Gradzahl in das Bogenmass umgerechnet
=BOGENMASS(A5)

In C5 steht
=SIN(B5)*$C$2
In D5 steht
=COS(B5)*$D$2
beides wird bis Zeile 41 kopiert.

Erstelle ein Punkt(xy)-Diagramm mit den X-Werten aus C5:C41
und den Y-Werten aus D5:D41

Der rote Brennpunkt hat die Koordinaten
X=+WURZEL(C2^2-D2^2)
Y=0

Drehung:
In H1 steht die Gradzahl, um die die Ellipse gedreht werden soll.
In H2 steht =BOGENMASS(H1)

In F5 steht
=C5*COS($H$2)-D5*SIN($H$2)
In G5 steht
=C5*SIN($H$2)+D5*COS($H$2)
beides wird bis Zeile 41 kopiert.

Erstelle eine 2.Datenreihe mit den X-Werten aus F5:F41 und den Y-Werten aus
G5:G42



Erläuterung
Gilt a=b ist die Ellipse ein Kreis
Die Bahnen, auf denen unsere Planeten um die Sonne Kreisen, sind Ellipsen.
Die Form der Ellipse wird durch die numerische Exzentrizität e bestimmt.
Sie ergibt sich aus e=WURZEL(a^2-b^2)/a. e liegt zwischen 0 und 1.
Die lineare Exzentrizität E ergibt sich aus e*a. Sie gibt an, wie weit der
rote Punkt vom Ellipsenmittelpunkt entfernt ist.
Er steht für die Position der Sonne, um den sich der Planet drehen würde.

Die Planeten unseres Sonnensystems haben ca. folgende numerische Exzentrizität:

Erde 0,0167
Merkur 0,2056
Venus 0,0068
Mars 0,0934
Jupiter 0,0485
Saturn 0,0555
Uranus 0,0463
Neptun 0,0090
Pluto 0,2490


Rein mathematische Ellipsenberechnung (kein Näherungsverfahren):

Hallo Michaela,
den Ellipsenumfang zu bestimmen ist möglich über eine komplizierte Reihenentwicklung; - bleib Du aber besser bei den angebotenen Näherungsformeln.
Mit Deiner einfachen Frage begibst Du Dich auf eines der kompliziertesten Gebiete der Mathematik - die Zahlentheorie.
Die "Fermatsche Vermutung" (1637) wurde von Andrew Wiles, England indirekt unter Ansatz der horizontalen Iwasawa-Theorie über den Beweis eines Teiles der Shimura-Taniyama-Vermutung, daß jede semistabile elliptische Kurve modular ist und somit die Frey-Kurve für Exponenten größer 2 nicht existieren konnte, 1995 bewiesen (= 200 Seiten); - alles klar?
WF

Beitrag von mir in einem Mathematik-Forum (30.04.2000)


 
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